数控机床要求较高运动精度，其故障信息的载体与一般机械有所不同。大量诊断实例表明，从加工零件的质量上分析机床的运行状态，是诊断机床的主要思路。主轴是数控机床的关键部件，其运动精度直接影响工件的加工质量。当主轴不平衡运行时，产生的往复惯性力使轴瓦与主轴颈在油膜壁*薄处发生撞击，引起机床主轴的运动误差。主要包括主轴的纯径向跳动D、纯角度摆动和纯轴向窜动L。

 

　　时间序列分析法是以模式识别理论为基础，将动态过程为随机的复杂系统抽象为简单物理模型以便于实际系统运行状态的监测与诊断。现有文献大部分都是基于一维时间序列进行讨论，但对于许多实际问题，仅考虑一个因素并不能够充分揭示系统内部规律。为进一步解释各相关物理量对系统的影响关系，提高模型拟合精度，可引入多维时间序列模型。本文将多维时间序列应用于工件表面粗糙度Ra监测，分析了D、、L与Ra之间的影响关系。

 

　　1时序模型的选择常用时序模型有自回归模型（AR）、滑动平均模型（MA）以及自回归滑动模型（ARMA ）。后两类模型都可以用高阶的AR模型来逼近，其逼近程度取决于所取的自回归模型的阶次。由于AR模型的参数估计为线性回归过程，其计算简单、速度快，实际物理系统也往往是全极点系统，因此， AR模型的应用广泛，特别适用于机械故障诊断中。

 

　　对于AR模型讨论的前提是假设所获得的时间序列是平稳、正态分布的序列。但当机床运转处于某种隐患并且情况在不断恶化时，通过传感器得到的数据将是不平稳时间序列，含有某种随时间稳定发展的趋势。对于非平稳时序经过若干阶差分变换可以得到平稳时间序列，然后对其进行ARMA建模。为此提出非平稳时间序列ARIMA模型。

 

　　1 1 AR IMA模型ARIMA模型是平稳时间序列在非平稳状态下的拓展，它与非平稳序列{X t }密切相关， AR IMA模型经过有限次差分（ Y t = （ 1- B ）d X t， B为后移算子）后，{ Y t }即为ARMA序列。

 

　　适合ARIMA模型建模的数据具有缓慢衰变的正样本自相关系数函数的特征；经过差分变换后，适合ARMA建模的数据应具有快速下降的样本自相关系数函数的特征。

 

　　1 2多维AR模型概念从一维AR模型的概念出发可以定义多维AR模型。多维AR模型可以拟合多数实际情况，因为它可以逼近多维ARMA模型。设有m维的AR（ p）模型：z t = A 1 z t- 1 + A 2 z t- 2 + + A p z t- p + u t（1）式中： z t是m 1维零均值平稳序列；A j（ j = 1， 2，， p）是m m矩阵，其中A p 0； { u t }是m维白噪声序列，在不同时刻彼此无关，即E < u t > = 0 E < u t u T s > = S，t= s 0，t s（2）式中：S是m m阶正定阵，且E < u t z t- j > = 0（ j = 1，2，）。则多变量平稳的条件： det p i= 0 A i B i = 0的根全在单位圆外。如果{ z t }满足式（1）及平稳性条件，则{ z t }就称为m维AR（p ）序列。

 

　　2多维AR模型的建立2 1数据采集通过传感器得到的振动、转角信号都是连续信号，而建立时序模型需要对连续信号进行离散采样。

 

　　因此首先要确定采样间隔。若采样间隔不合理，则会产生不同频率谐波的混迭。当取得过大，采样数据将丢失观测信号中原有的相关关系，以致模型发生降阶，降低信号分辨率；当取得过小时，又会将高频噪声作为有用信号计入，使模型发生升阶，造成计算量增大。采用香农采样定理：当采样频率f s高于谐波的*高频率f max的2倍时，即可避免频混，为此常取= 1/2 5f m ax进行采样。

 

　　2 2多维AR模型的参数估计AR模型的参数估计法常用直接估计法，其中包括YuleW alker估计法和*小二乘估计法。相关矩估计方法是时间序列模型参数估计*常用的方法，它是建立在Y W方程基础上的。虽然该方法的估计精度没有*小二乘法那样高，但其计算简便实用。特别是对于具有正态特性的时间序列，在样本数据足够多的情况下，其估计精度可以与*小二乘估计法相当。本文采用选择Y W估算法。这就得到A j（ j = 1， 2，，p ）的矩估计。从理论上可知YuleW alker矩估计量有很多优点，如正定性、渐近无偏性、弱相容性和渐近正态性。

 

　　3多维AR模型定阶的FPE准则FPE准则（*小*终预报误差准则）是由样本对模型定阶。它是以模型输出的一步预报误差方差来判定模型阶次：一步预报误差方差阵的行列式越小，就认为模型拟合得越理想，这时的模型阶次认为是*佳的阶次。

 

　　由样本长度为N的m维观测数据所拟合的AR（p）模型见式（1）。^ T i（8）需要说明，如果FPE p（z t）的值随p的增大而单调上升，则可判定模型为一阶自回归模型；如果FPE p（z t）的值随p的上升而单调减小，则样本序列不能用AR模型来描述；若随p值增加FPE p（z t）的值上下剧烈跳动，可增大样本长度再进行定阶。

 

　　为了考察m维序列的规律能否由其部分分量，如前q个分量（ q< m ）来充分描述系统特征，进一步引入*终预报误差方差的子方阵，其行列式FPE p， q， m（ z t）^ T i的左上角q阶子方阵。如果m inFPE p， q， m（ z t） %m inFPE p， q， q（ z t），则认为仅考察前q维序列就行了，考察m维序列并未比仅考虑前q维序列带来显著好处，因此可以排除次要因素，集中于主要因素的监测诊断；反之如果m inFPE p， q， m（z t）< m inFPE p， q， q（z t），则必须全面考察m维序列，才能获得对系统的全面了解。这也为如何建立多维序列模型提供了具体方法。

 

　　4算例研究本文以某数控车床加工工件的表面粗糙度Ra、车床主轴的纯径向跳动D、纯角度摆动和纯轴向窜为对象建立初始四维AR模型。其中，机床设计主轴的*高工作转速为15 000r /m in.样本数N为500.则非平稳时间序列处理步骤如下：（1）观测上述四维非平稳观测值前480个样本序列{X t }， {X t } = （ Ra，D， ，L）T，其中{Ra }，{ D }原始数据如所示。对数据进行一次差分以后得到平稳序列{ Y t }， { Y t } = （ 1- B ） {X t }.{R a t }经一次差分后所得时间序列，一次差分后所得到的自相关系数，图中显示有显著下降的趋势，说明经过差分变换的序列已符合ARMA建模的条件。然后对{ Y t }进行标准正态处理： z t = （ Y t - % y） / y，式中， % y为序列{ Y t }的均值， y是{ Y t }的均方差。进而，对{ z t }进行多维AR建模，由Y t =y z t + % y，逆变换得到时序{ Y t }，*终反变换得到序列{X t }.

 

　　（2）由多维YuleW alker算法依次估计四维模型AR（p） （其中p = 1， 2，）的参数，在此基础上计算各阶模型的FPE值，定出模型*佳阶次。本文计算了10阶AR模型的FPE值，当AR（6）时FPE值*小，可知此四维AR模型*佳阶次为6，依此建立四维AR（6）模型。

 

　　（3）分析各相关物理量对表面粗糙度的影响程度。

 

　　看出FPE 6， 1， 2 < FPE 6， 1， 1，则认为纯径向跳动对加工工件表面粗糙度的影响较大； FPE 6， 2， 3 < FPE 6， 2， 2，则认为纯角度摆动对工件表面粗糙度也是重要的； FPE 6， 3， 4 > FPE 6， 3， 3，则可认为主轴的纯轴向窜动产生的运动误差对加工工件表面的几何形状基本没有影响，这与实际理论也是相符合的。依此结论，可知在建立机床主轴诊断的多维AR模型时，仅需考虑Ra，D，三个关键因素。

 

　　（4）根据上述观点，建立{ Ra，D，} T三维AR （6）模型。依据此模型监测并预报了序号480以后的20个Ra值，其结果如。从预测结果来看，使用AR （6）模型预测其*大相对误差为8 7% ，*小仅为1 76% ，且基本吻合实测值发展趋势，说明多维AR模型用于分析机床主轴部件故障是合理的。

 

　　5结论本文通过对工件表面粗糙度这一信息载体，研究了机床主轴各运动误差对其影响程度。在此基础上建立了基于非平稳序列的多维AR模型，给出了从原始数据获取到模型建立的理论依据。同时，依据FPE准则，辨识出引起系统故障的主要因素，避免了次要因素的干扰。从而简化了建模的难度与工作量。通过实例计算，证明基于非平稳序列的多维AR模型符合机床故障诊断要求，预测精度满足要求。