在数控系统中，插补算法是生成加工轨迹的一个*基本的子程序，在很大程度上决定了数控机床的加工精度和*大进给速度。传统DDA圆弧插补计算过程简单，但是用切线逼近圆弧造成误差。本文提出了一种新的圆弧DDA插补算法，该改进算法使用割线逼近圆弧，可以降低径向误差，插补精度较高，误差分析结果表明DDA圆弧插补改进算法具明显的优势，可以有效提高计算精度和计算效率。

 

　　1传统DDA圆弧插补算法在用户编制的零件程序中，对于圆弧插补的程序段，提供了圆弧在XZ平面中的起点、终点以及圆心相对于起点的偏移量I 0、K 0值。现以**象限的顺圆为例，说明传统DDA圆弧插补算法的实现。

 

　　在机床XZ坐标系中，设圆弧起点为A，圆心为C，坐标轴原点平移A点后构成IK坐标系。IK坐标系原点A即切割枪位置，随着切割枪而移动，圆心C相对于原点A的坐标值为（K，I）。第i次迭代之后，切割枪按照插补命令移动到A i点，这时圆心C的坐标为（K i，I i）。在第i＋1次迭代中，切割枪将沿着切线A i C′方向移动，于是将按斜率为－K i／I i的切线进行插补迭代一步，切割枪移动到A i＋1点。此时圆心C相对于A i＋1，的坐标为（I i＋1，K i＋1）。

 

　 式（1）X和Z轴的进给步长可以根据编程速度按斜率为－K i／I i；的直线A i C′计算如下：△X i＋1＝v（3）因此，**象限顺圆的传统DDA圆弧插补迭代公式如下式（4）I i＝I i－1－△X i K i＝K i－1－△Z i）式（5）X i＝X i－1－△X i Z i＝Z i－1－△Z i）式（6）上述公式中**个公式用来计算第I次插补周期中坐标轴的进给步长，第二个公式用来修正圆心相对于切割枪位置的现时坐标，第三个公式用来计算切割枪应该达到的命令位置。图2中轨迹是根据传统DDA圆弧插补算法形成的轨迹曲线，包括8个插补点。由切线逼近圆弧的插补算法本身的误差所引起的径向误差较大。

 

　　2DDA圆弧插补改进算法及其实现传统DDA圆弧插补计算过程简单，但是用切线逼近圆弧造成误差。该改进算法使用割线逼近圆弧，可以降低径向误差。改进算法的思想如图3所示，下面以顺圆为例说明。

 

　　IK坐标系原点A即切割枪位置，随着切割枪而移动，圆心C相对于原点A的坐标值为（K，I）。第i次迭代之后，切割枪按照插补命令移动到A i点，这时圆心C的坐标为（K i，I i）。

 

　　在第i＋l次迭代中，切割枪将移动到A i＋1点。A i A i＋1是辅助圆A i DA i＋1的割线和辅助圆EBF的切线，R 1、R 2分别是辅助圆A i DA i＋1和EBF的半径。

 

　　R是插补圆弧的半径，因为内外均差割线可以降低径向误差，所以由DDA圆弧插补原理可得G点坐标（Z g，X g）Z x＝Z i＋A i G因为G、B、C在一条直线上，C点在ZX坐标系下坐标为（Z c，X c｝，所以B点坐标（Z b，X b）为Z b＝Z c＋Z g式（15）因为B为A i A i＋1的中点，所以A i＋1的坐标（Z i＋1，X i＋1）为Z i＋1＝2Z b－Z i X i＋1＝2b－X i）式（16）如图4所示在插补的开始和结束位置，根据DDA插补原理，使用插补圆弧的切线连接插补圆弧和逼近圆弧的割线。

 

　　设圆弧插补起点为P o（Z o，X o），终点为P e（Z e，X e），圆心相对于圆弧起点的偏差为K 0和I 0，圆心相对于圆弧终点的偏差为K e和I e，圆弧半径为R，进给速度为v，插补周期为T，则改进圆弧插补算法为（1）计算辅助圆半径R 1和R 2 R 1＝R2）计算插补圆弧起点和终点处的切线斜率在起点处：k 0＝－k 0／I 0式（19）在终点处：k e＝－k e／I e式（20）（3）计算插补圆弧起点和终点的切线与外侧辅助圆的交点A 1和A n的坐标A 1的坐标：Z 1＝R 1 2－R 2K 0／R＋Z 0 X 1＝－R 1 2－R I 0／R＋X 0

 

　　式（22）（4）计算**步进给量△Z 1＝Z 1－Z 0式（23）△X 1＝X 1－X 0式（24）（5）修正圆心坐标K 1＝K i－1－Z i I 1＝I i－1－X i（式（25）（6）计算算辅助插补步长L＝vTR 1 2R 2式（26）（7）根据式（13－16）计算第i步的命令位置A i（Z i，X i）（8）计算进给量△Z i＝Z i－Z i－1式（27）△X i＝X i－X i－1式（28）（9）判别是否到达终点A n，若是，转项（10），否则i加1后转项（5）（10）结束轨迹是改进后的DDA圆弧插补算法形成的轨迹曲线，对比可知改进后的DDA圆弧插补算法的径向误差比原算法小。

 

　　3DDA圆弧插补改进算法误差分析以下的误差分析主要针对DDA圆弧插补改进算法的径向误差与弦线逼近圆弧的弦线误差进行比较。在相同的步长δ和相同的圆弧半径R条件下，e r1为弦线逼近圆弧的弦线误差，e r2为DDA圆弧插补改进算法的径向误差。如所示，在弦线逼近圆弧时e r1的计算公式为e r1＝R（1－δ2 4R 2）式（29）如所示，在DDA圆弧插补改进算法中的计算公式为e r2＝Rδ2 8R 2式（30）令△e r＝e r1－e r2 R＝1－1－δ2 4R 2 "－δ2 8R 2式（31）K＝δR式（32）则△e r＝1－1－k 2 4－k 2 8式（33）函数图像如所示。当0＜k≤2时，△e r＞0，即DDA圆弧插补改进算法的径向误差小于弦线逼近圆弧的弦线误差。而且在k＞1时，即切割小半径圆弧时前者有明显的优势。另外在DDA圆弧插补改进算法中不包含超越函数，可以有效提高计算精度和计算效率。

 

　　4小结本文介绍了数控系统所使用的圆弧插补算法。

 

　　其中提出了一个基于传统DDA圆弧插补算法的改进算法，并通过比较证明了该算法相对于弦线插补算法的*性。实践表明DDA圆弧插补改进算法精简了计算步骤，提高了计算速度。